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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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6. Use el criterio de la raíz o del cociente, según convenga, para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series:
b) ∑n=1∞(1−1n)n2\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}

Respuesta

En este caso vamos a aplicar el Criterio de Cauchy:

lim⁡n→∞(1−1n)n2n \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n^2}}

Simplificamos y nos queda:

lim⁡n→∞(1−1n)n \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n}

Estamos frente a una indeterminación de tipo 11 elevado a ∞\infty. La savalmos de la misma manera que lo hacíamos en sucesiones y deberías llegar a:

lim⁡n→∞(1−1n)n=e−1<1 \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n} = e^{-1} < 1

Por lo tanto, como el resultado del límite nos dio <1< 1, Cauchy nos asegura que esta serie converge.
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ExaComunidad
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Juan
3 de julio 20:22
Buenass Flor espero que andes bien. Una consulta como se resolvería la indeterminación 1 a la infinito? porque me confunde que esté 1-1/n y no 1+1/n. O eso no importa y lo de adentro del paréntesis elevado a su recíproco vale e?. Muchas gracias!
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Flor
PROFE
4 de julio 13:08
@Juan Hola Juan! La clave está en que vos tenés esto:

(1−1n)n\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n}

y necesitarías tener algo de la forma 1 + (y no menos jaja), entonces lo pensas así:

(1+(−1n))n\left(1 + (-\frac{1}{n})\right)^{n}

es decir, tu "algo que tiende a cero", y que después vas a tener que poner dado vuelta en el exponente es −1n-\frac{1}{n}

se entiende? 
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