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@Juan Hola Juan! La clave está en que vos tenés esto:
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6.
Use el criterio de la raíz o del cociente, según convenga, para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series:
b) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$
b) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$
Respuesta
En este caso vamos a aplicar el Criterio de Cauchy:
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$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n^2}} $
Simplificamos y nos queda:
$ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n} $
Estamos frente a una indeterminación de tipo $1$ elevado a $\infty$. La savalmos de la misma manera que lo hacíamos en sucesiones y deberías llegar a:
$ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n} = e^{-1} < 1$
Por lo tanto, como el resultado del límite nos dio $< 1$, Cauchy nos asegura que esta serie converge.
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Juan
3 de julio 20:22
Buenass Flor espero que andes bien. Una consulta como se resolvería la indeterminación 1 a la infinito? porque me confunde que esté 1-1/n y no 1+1/n. O eso no importa y lo de adentro del paréntesis elevado a su recíproco vale e?. Muchas gracias!
Flor
PROFE
4 de julio 13:08
$\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n}$
y necesitarías tener algo de la forma 1 + (y no menos jaja), entonces lo pensas así:
$\left(1 + (-\frac{1}{n})\right)^{n}$
es decir, tu "algo que tiende a cero", y que después vas a tener que poner dado vuelta en el exponente es $-\frac{1}{n}$
se entiende?
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